Rectas Paralelas Y Perpendiculares

Rectas Paralelas 

En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante. En geometría afín, expresando una variedad lineal Como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G si F está contenido en G  ó  G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano, esto se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director.

Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto.

De manera análoga, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ninguna recta.

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

También se le denomina así a aquellos pares de líneas que nunca se unen o cruzan.

Por ejemplo

Si tenemos en cuenta el ejemplo de la bicicletería, pero ahora considerando que solo se cobra 10 centavos  por cada minuto recorrido en la misma, ¿cuál sería la fórmula que expresa el importe del alquiler de una bicicleta en función del tiempo?

Si realizamos la gráfica de ambas funciones, es decir la obtenida al comienzo del tema función lineal y la que acabamos de encontrar se puede visualizar lo siguiente:

Referencia:  y=0,1x+2

                   y=0,1x

Podemos observar que ambas rectas son paralelas, pues tienen la misma pendiente.

Dos funciones lineales tienen Como gráficas rectas paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

Rectas Perpendiculares

De el latín perpendiculāris, perpendicular es un término utilizado en la geometría para nombrar al

plano o a la línea que, con otro plano o línea, crea un ángulo de noventa grados. Es importante destacar que existen diversas formas de relaciones de perpendicularidad.

                 

Dos rectas que se encuentran en el mismo plano son perpendiculares cuando forman cuatro ángulos rectos. En el caso de las semirrectas, la perpendicularidad aparece cuando se desarrollan ángulos rectos, por lo general con idéntico punto de origen.

Los planos y semiplanos, por último, son perpendiculares en los casos en que se forman cuatro ángulos diedros de noventa grados.

Es posible que incluso se desarrolle una relación de perpendicularidad entre los elementos mencionados anteriormente (recta, semirrecta, plano, semiplano), aunque considerados de 2 en 2.

Es importante subrayar que a la hora de hablar de perpendiculares nos encontramos con otro término que está relacionado con aquellas y que en ocasiones suelen confundirse. Nos estamos refiriendo a las conocidas como paralelas.

En este caso, tenemos que dejar claro que unas rectas paralelas se pueden definir como aquellas que nunca se cortan, que son equidistantes y que por más que se prolonguen nunca llegan a encontrarse en un punto.

Sin embargo, frente a aquellas se encuentran las rectas perpendiculares que, como hemos analizado previamente de manera profunda, son las que se caracterizan porque son las que se cortan con otras formando lo que es un ángulo recto. Por tanto, podemos establecer que la diferencia que existe entre paralelas y perpendiculares es de 90º.

Ejemplos

Supongamos que tenemos una recta r y un punto P y queremos trazar una recta perpendicular a r que pase por el punto P.

Marcamos dos puntos A y B sobre la recta r.

Luego trazamos dos arcos de circunferencias con centros en A y B y que pasen por el punto P, tratando que los arcos se intersecten también del otro lado.

Marcamos el punto de intersección Q y trazamos la recta s de tal manera que pase por los puntos

 P y Q.